Über „magische Steine“ in der Statistik

Auf Charles Stein geht die Idee zurück, parametrische Verteilungsfamilien auf eindeutige Weise durch eine auf Momenten basierende Identität zu charakterisieren, wobei eine solche Identität von einer unbestimmten Funktion f abhängt, welche aus einer großen Klasse von Funktionen frei wählbar ist. Ursprünglich wurde dieser Ansatz dabei im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt, um den Fehler bei Verteilungsapproximationen abzuschätzen. Vor einigen Jahren, als es um die Vorbereitung des späteren DFG-Projekts „Modelldiagnostik für Zähldatenzeitreihen“ ging, siehe

Modelldiagnostik für Zähldatenzeitreihen

hatte ich die Idee, dass man auf Basis einer solchen Stein-Identität vielleicht auch einen einfachen aber flexiblen Goodness-of-Fit-Test (GoF-Test) kreieren könnte, der bei passender Wahl der o.g. Funktion f für verschiedenste Alternativszenarien trennscharf sein könnte. Was ich ursprünglich nur als „nette kleine Idee“ unter vielen anderen Möglichkeiten eingeschätzt hatte, hat sich mittlerweile als eine wahre Wundertüte („It’s magic!“) mit diversen (insbesondere statistischen) Anwendungsmöglichkeiten herausgestellt, weshalb der Titel dieses Vortrags etwas flapsig von „magischen Steinen“ spricht. Im (hoffentlich) kurzweiligen Vortrag selbst soll es um einige solcher Möglichkeiten gehen, nämlich jene, deren ich mir bis dato bewusst geworden bin. Beginnend mit der noch wahrscheinlichkeitstheoretischen Anwendung der Berechnung auch komplizierter Momente, sollen anschließend drei statistische Anwendungsgebiete kurz vorgestellt werden: GoF-Tests für parametrische Verteilungsfamilien, Kontrollkarten auf Basis von Stein-Identitäten, und eine ebenfalls auf Stein-Identitäten basierende verallgemeinerte Momentenschätzung. Die dabei präsentierten Resultate sind teils publiziert, teils „work in progress“, und zumeist mit verschiedensten Coautoren entstanden, insbesondere mit Boris Aleksandrov und Simon Nik.