Ordinale Zeitreihen: Modellierung, Vorhersage und Kontrolle

 

Projektpartner:

 

DFG-Projekt

 
Dreijähriges Projekt, gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) – Projektnummer 516522977, und vorbereitet im Rahmen eines IFF-Projekts.

Projektziele:

Eine ordinale Zeitreihe ist eine zeitliche Abfolge diskretwertiger Beobachtungen, deren Wertebereich qualitativ ist und aus einer endlichen Zahl an geordneten Kategorien besteht. Ordinale Zeitreihen sind in den verschiedensten Situationen mit wirtschaftswissenschaftlichem Kontext anzutreffen und können vielfältige Formen hinsichtlich ihrer Abhängigkeitsstruktur oder Randverteilung aufweisen. Letztgenannte Merkmale können mit Hilfe analytischer Werkzeuge, wie sie jüngst für ordinale Zeitreihen entwickelt wurden, herausgearbeitet werden. Im Anschluss daran wäre nun eine adäquate Modellierung der ordinalen Zeitreihe nötig, welche wiederum als Basis für die Vorhersage der Zeitreihe oder für die statistische Kontrolle des weiteren Verlaufs genutzt werden könnte. An dieser Stelle setzt das geplante Forschungsvorhaben ein, denn weder für die Modellierung noch für die Vorhersage oder Kontrolle ordinaler Zeitreihen gibt es bis dato ein hinreichendes Repertoire an maßgeschneiderten Methoden. Stattdessen werden zumeist Ansätze für nominale Zeitreihen verwendet (die dann aber die natürliche Anordnung der Kategorien außer Acht lassen), oder solche für quantitative Zeitreihen (die dann aber implizit eine metrische Struktur unterstellen).

Ziel des geplanten Forschungsvorhabens ist es, ein umfassendes Paket an Methoden zur stochastischen Modellierung, Vorhersage und Kontrolle ordinaler Zeitreihen zu entwickeln. Dabei sollen bereits existierende Verfahren aufgegriffen und die noch offenen Bereiche durch neue eigene Beiträge geschlossen werden. Der erste Schritt wäre dabei die Entwicklung eines Baukastens aus möglichst verschiedenen Modellen, durch die eine breite Palette an stochastischen Eigenschaften abgedeckt wird. Bei allen sich ergebenden Modelltypen ist neben der eigentlichen Modelldefinition und den stochastischen Modelleigenschaften stets auch die Frage der Modellanpassung (Identifikation, Schätzung, Validierung) zu berücksichtigen. Daran schließen die Teilprojekte zur Vorhersage und Kontrolle an, welche die zuvor neu entwickelten Modelle bereits einbeziehen sollen. In puncto Vorhersage sollen adäquate Kriterien zur Bewertung der Vorhersagequalität hergeleitet werden (welche also der ordinalen Natur der Daten gerecht werden), um dann mit diesen die Performanz der verschiedenen Vorhersageansätze (Punkt-, Bereichs- und PMF-Vorhersagen) eingehend empirisch zu untersuchen. Hinsichtlich der Kontrolle sollen Kontrollkarten für seriell abhängige ordinale Prozesse entwickelt und untersucht werden, wobei neben stichprobenbasierten Karten vor allem Einzelwert-Gedächtniskarten im Fokus stehen, welche bis dato gänzlich in der Fachliteratur fehlen. Für alle vorgeschlagenen Verfahren werden Performanz und Anwendbarkeit eingehend untersucht, sowohl durch umfassende vergleichende Simulationsstudien wie auch durch Anwendung auf in den Wirtschaftswissenschaften relevante reale Datenbeispiele.

Projektlaufzeit:

April 2023 – März 2026.

Projektresultate:

  • Weiß, C.H., Schnurr, A. (2024):
    Generalized ordinal patterns in discrete-valued time series: nonparametric testing for serial dependence.
    Journal of Nonparametric Statistics 36(3), 573-599 (open access).
     
    Abstract: We provide a new testing procedure to detect serial dependence in time series. Our method is based solely on the ordinal structure of the data. We explicitly allow for ties in the data windows we consider. Consequently, we use generalized ordinal patterns, that is, Cayley permutations. Unlike in the classical case, the pattern distribution is not uniform under the null hypothesis of serial independence. In our new framework, the underlying distribution has to be taken into account and we overcome this problem by a bootstrap procedure. The applicability of our method is supported by a simulation study and two real-world data examples.
     
  • Weiß, C.H. (2024):
    Ordinal compositional data and time series.
    Statistical Modelling 24(6), 561-580 (open access).
     
    Abstract: There are several real applications where the categories behind compositional data (CoDa) exhibit a natural order, which, however, is not accounted for by existing CoDa methods. For various application areas, it is demonstrated that appropriately developed methods for ordinal CoDa provide valuable additional insights and are, thus, recommended to complement existing CoDa methods. The potential benefits are demonstrated for the (visual) descriptive analysis of ordinal CoDa, for statistical inference based on CoDa samples, for the monitoring of CoDa processes by means of control charts, and for the analysis and modelling of compositional time series. The novel methods are illustrated by a couple of real-world data examples.
     
  • Jahn, M., Weiß, C.H. (2024):
    Nonlinear GARCH-type models for ordinal time series.
    Stochastic Environmental Research and Risk Assessment 38(2), 637-649 (open access).
     
    Abstract: Despite their relevance in various areas of application, only few stochastic models for ordinal time series are discussed in the literature. To allow for a flexible serial dependence structure, different ordinal GARCH-type models are proposed, which can handle nonlinear dependence as well as kinds of an intensified memory. The (logistic) ordinal GARCH model accounts for the natural order among the categories by relying on the conditional cumulative distributions. As an alternative, a conditionally multinomial model is developed which uses the softmax response function. The resulting softmax GARCH model incorporates the ordinal information by considering the past (expected) categories. It is shown that this latter model is easily combined with an artificial neural network response function. This introduces great flexibility into the resulting neural softmax GARCH model, which turns out to be beneficial in three real-world time series applications (air quality levels, fear states, cloud coverage).
     
  • Weiß, C.H., Swidan, O. (2024):
    Weighted Discrete ARMA Models for Categorical Time Series.
    Accepted for publication in Journal of Time Series Analysis (open access).
     
    Abstract: A new and flexible class of ARMA-like (autoregressive moving average) models for nominal or ordinal time series is proposed, which are characterized by using so-called „weighting operators“ and are, thus, referred to as weighted discrete ARMA (WDARMA) models. By choosing an appropriate type of weighting operator, one can model, for example, nominal time series with negative serial dependencies, or ordinal time series where transitions to neighbouring states are more likely than sudden large jumps. Essential stochastic properties of WDARMA models are derived, such as the existence of a stationary, ergodic, and phi-mixing solution as well as closed-form formulae for marginal and bivariate probabilities. Numerical illustrations as well as simulation experiments regarding the finite-sample performance of maximum likelihood estimation are presented. The possible benefits of using an appropriate weighting scheme within the WDARMA class are demonstrated by a real-world data application.
     
  • Weiß, C.H., Swidan, O. (2024):
    Hidden-Markov Models for Ordinal Time Series.
    Accepted for publication in AStA Advances in Statistical Analysis, 2024 (open access).
     
    Abstract: A common approach for modeling categorical time series are Hidden-Markov models (HMMs), where the actual observations are assumed to depend on hidden states in their behavior and transitions. Such categorical HMMs are even applicable to nominal data, but suffer from a large number of model parameters.
    In the ordinal case, however, the natural order among the categorical outcomes offers the potential to reduce the number of parameters while improving their interpretability at the same time. The class of ordinal HMMs proposed in this article link a latent-variable approach with categorical HMMs. They are characterized by parametric parsimony and allow the easy calculation of relevant stochastic properties, such as marginal and bivariate probabilities. These points are illustrated by numerical examples and simulation experiments, where the performance of maximum likelihood estimation is analyzed in finite samples. The developed methodology is applied to real-world data from a health application.
     
  • wird fortgesetzt!

 

IFF-Projekt

 
Einjähriges Projekt, gefördert durch die Interne Forschungsförderung (IFF2021) der HSU Hamburg.

 

Projektziele:

Das IFF-Projekt befasst sich mit der Modellierung, Vorhersage und Kontrolle von ordinalen Zeitreihen. Eine ordinale Zeitreihe ist hierbei eine qualitative Zeitreihe, bei der die möglichen kategorialen Beobachtungswerte eine natürliche Anordnung aufweisen. Obwohl ordinale Zeitreihen in diversen Anwendungen vorkommen, ist die wissenschaftliche Literatur noch weit davon entfernt, ein vollständiges Box-Jenkins-Programm für diese anzubieten, d.h. Verfahren zu allen der Bereiche Analyse, Modellierung, Vorhersage und Kontrolle von ordinalen Zeitreihen. Nachdem in Vorarbeiten des Antragsstellers bereits der Bereich der Analyse ordinaler Zeitreihen etabliert wurde, soll nun mit einem IFF-Projekt ein DFG-Antrag vorbereitet werden, der die drei übrigen Bereiche der Modellierung, Vorhersage und Kontrolle ausarbeitet. In der IFF-Phase stehen dabei umfassende Literaturrecherchen und Konzeptentwicklungen im Zentrum. Ferner sollen (in einer weiteren Vorarbeit) exemplarisch erste neue Kontrollkarten für ordinale Prozesse entwickelt und mit existierenden Kontrollkarten verglichen werden.

Einen Überblick über das IFF-Projekt bietet folgendes Poster.

Projektlaufzeit:

Juli 2021 – Juni 2022.

Publikationen:

 

HSU

Letzte Änderung: 22. November 2024