Forschung

Optimierung

• Formoptimierungsprobleme und deren numerische Behandlung / Optimierungsmethoden in Formenräumen
• Analytische und numerische Lösungen von beschränkten Optimierungsproblemen (insbesondere Beschränkungen in Form von partiellen Differentialgleichungen und variationellen Ungleichungen)
• Stochastische Approximation / Optimierung unter Unsicherheiten
• Modellierung von Optimierungsproblemen

Formenräume und deren Strukturen

• Riemannsche Mannigfaltigkeiten
• Formenräume als diffeologische Räume

Optimierungsanwendungen im Bauingenieurwesen

• Optimale Versuchsplanung (z.B. optimale Sensorplatzierung)
• Rissmodellierung durch Optimierungsprobleme

Zuverlässigkeitsbasiertes Structural Health Monitoring von Infrastrukturbauwerken (gefördert im Rahmen des Zentrums für Digitalisierungs- und Technologieforschung der Bundeswehr)

Das übergeordnete Ziel des Projektes SHM ist es, neue innovative Methoden zu entwickeln, um Infrastrukturbauwerke zu überwachen und deren Zustand kontinuierlich und zuverlässigkeitsbasiert zu bewerten. Hierzu arbeitet ein interdisziplinäres Team bestehend aus Ingenieuren/innen und Mathematikern/innen in Kooperation mit Industrieunternehmen zusammen. Die neuen Methoden sollen unter Nutzung von Daten verschiedenster Sensoren die zuverlässigkeitsbasierte digitale Zustandsbewertung von bestehenden Infrastrukturbauwerken erlauben. Die entwickelten SHM-Methoden haben den Anspruch, auf Bauwerke und Schäden verschiedenster Art anwendbar zu sein. Endprodukt des Projekts ist ein über den bisherigen Wissens- und Forschungsstand hinausgehendes, durchgehend digitales und integriertes System zur Überwachung von Infrastrukturbauwerken, dieses mit dem Building Information Modeling in einer lückenlosen digitalen Prozesskette zusammenzuführen und auf Basis aller zur Verfügung stehenden Daten eine kontinuierliche Zustandsbewertung zu realisieren.

Semi-Smooth Newton-Verfahren in Formenräumen (gefördert durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft im DFG Schwerpunktprogramm 1962/2)

Das Projekt SNewS verfolgt einen neuen Ansatz, der es ermöglicht, Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen in Formenräumen analytisch zu untersuchen und numerisch zu lösen. Im Unterschied zu klassischen Problemen mit variationellen Beschränkungen, bei denen keine explizite Abhängigkeit von Gebieten vorhanden ist, ist die Untersuchung von Formoptimierungsproblemen mit variationellen Beschränkungen insbesondere aus zwei Gründen besonders anspruchsvoll: Erstens muss man notwendigerweise in nichtlinearen, nichtkonvexen und unendlichdimensionalen Formenräumen arbeiten. Zweitens ist ein beliebiges Zielfunktional, das von der Lösung einer Variationsungleichung abhängt, nicht notwendigerweise formdifferenzierbar. Dies führt dazu, dass zum Beispiel die Adjungierte zum vorliegenden Formoptimierungsproblem nicht definiert und somit das Problem nicht direkt ohne Regularisierungstechniken gelöst werden kann. Das Aufsetzen eines Newton-Formableitungskonzepts ist der Leitgedanke des Antrags. Mithilfe dieses Konzepts können Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen, die im klassischen Sinn nicht formdifferenzierbar sind, analytisch und numerisch untersucht werden. Zudem können diese dann auch gelöst werden, ohne Regularisierungstechniken zu verwenden, die nicht selten nur zu approximativen Lösungen führen.

Simulationsbasierte Entwurfsoptimierung dynamischer Systeme unter Unsicherheiten (gefördert im Rahmen der Landesforschungsförderung Hamburg)

Ziel des Verbundprojektes ist die Entwicklung innovativer Simulationsverfahren zur robusten Optimierung komplexer Bauteile. Durch die Verschmelzung von Methoden der Angewandten Mathematik und des Theoretischen Maschinenbaus werden hierzu Modelle entwickelt, die dynamische Betriebsbedingungen und unsichere Fertigungsprozesse bei der Optimierung erfassen. Insbesondere für wartungsintensive und wartungsfreie Produkte aus dem Hamburger Luftfahrt- und Medizintechnikumfeld ist ein robustes Design entscheidend. Aufgrund von drastisch reduzierten Zeit- und Finanzbudgets für die Entwicklung neuer Produkte wird die computergestützte Optimierung virtueller Produktprototypen immer bedeutender. Je unabhängiger (robuster) die Leistungsmerkmale eines optimierten Produktdesigns von späteren fertigungs- oder betriebsbedingten Schwankungen sind, desto wirtschaftlicher lässt sich das Produkt herstellen und betreiben.

Zeitschriften

C. Geiersbach, T. Suchan, and K. Welker, Stochastic Augmented Lagrangian Method in Riemannian Shape Manifolds. Journal of Optimization Theory and Applications (2024). DOI: 10.1007/s10957-024-02488-1.

T. Suchan, C. Kandekar, W.E. Weber, and K. Welker. Crack propagation in anisotropic brittle materials: From a phase-field model to a shape optimization approach. Engineering Fracture Mechanics, 303:110065 (2024). DOI: 10.1016/j.engfracmech.2024.110065.

L. Radtke, G. Bletsos, N. Kühl, T. Suchan, T. Rung, A. Düster, and K. Welker. Parameter-Free Shape Optimization: Various Shape Updates for Engineering Applications. Aerospace, 10(9):751. 2023. DOI: 10.3390/aerospace10090751.

K. Welker. Suitable Spaces for Shape Optimization. Applied Mathematics and Optimization, 84(S1):869–902, Springer, 2021. DOI: 10.1007/s00245-021-09788-2.

C. Geiersbach, E. Loayza-Romero and K. Welker. Stochastic Approximation for Optimization in Shape Spaces. SIAM Journal on Optimization, 31(1):348-376, 2021. DOI: 10.1137/20m1316111.

D. Luft, V.H. Schulz, and K. Welker. Efficient Techniques for Shape Optimization with Variational Inequalities Using Adjoints. SIAM Journal on Optimization, 30(3):1922-1953, 2020. DOI: 10.1137/19m1257226.

B. Führ, V.H. Schulz and K. Welker. Shape Optimization for Interface Identification with Obstacle Problems. Vietnam Journal of Mathematics, 46(4):967–985, 2018. DOI: 10.1007/s10013-018-0312-0.

M. Siebenborn and K. Welker. Algorithmic Aspects of Multigrid Methods for Optimization in Shape Spaces. SIAM Journal on Scientific Computing, 39(6):B1156-B1177, 2017. DOI: 10.1137/16m1104561.

V.H. Schulz, M. Siebenborn, and K. Welker. Efficient PDE Constrained Shape Optimization Based on Steklov–Poincaré-Type Metrics. SIAM Journal on Optimization, 26(4):2800-2819, 2016. DOI: 10.1137/15m1029369.

V.H. Schulz, M. Siebenborn, and K. Welker. Structured Inverse Modeling in Parabolic Diffusion Problems. SIAM Journal on Control and Optimization, 53(6):3319-3338, 2015. DOI: 10.1137/140985883.

Bücher und Special Issues

P. Gangl and K. Welker (eds.) Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics, Special Issue: 8th GAMM Juniors‘ Summer School 21(S1). Wiley: e202100901 (2021). DOI: 10.1002/pamm.202100901.

I. Demir, Y. Lou, X. Wang, and K. Welker (eds.) Advances in Data Science. Springer International Publishing, Cham (2021). DOI: 10.1007/978-3-030-79891-8.

Buchkapitel

N. Goldammer, J.-P. Magnot, and K. Welker, On diffeologies from infinite dimensional geometry to PDE constrained optimization. In: J.-P. Magnot (ed.) Recent Advances in Diffeologies and Their Applications, Contemporary Mathematics 794. American Mathematical Society: 1-48 (2024). DOI: 10.1090/conm/794.

C. Geiersbach, E. Loayza-Romero, and K. Welker, PDE-Constrained Shape Optimization: Toward Product Shape Spaces and Stochastic Models. In: K. Chen, C.-B. Schönlieb, X.-C. Tai, and L. Younes (eds.) Handbook of Mathematical Models and Algorithms in Computer Vision and Imaging. Springer International Publishing, Cham: 1585-1630 (2023). DOI: 10.1007/978-3-030-98661-2_120.

W. Weber, N. Rauter, R. Lammering, and K. Welker, Räumliche Auflösung des Schadenszustandes aus mechanischer und mathematischer Sicht. In: D. Schulz, A. Fay, W. Matiaske, and M. Schulz (eds.) dtec.bw-Beiträge der Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg: Forschungsaktivitäten im Zentrum für Digitalisierungs- und Technologieforschung der Bundeswehr dtec.bw 1. Helmut-Schmidt-Universität, Hamburg: 281-286 (2022). DOI: 10.24405/14565.

V.H. Schulz and K. Welker, Shape Optimization for Variational Inequalities of Obstacle Type: Regularized and Unregularized Computational Approaches. In: M. Hintermüller et al. (eds.) Non-Smooth and Complementarity-Based Distributed Parameter Systems, International Series of Numerical Mathematics 172. Birkhäuser, Cham: 397-420 (2021). DOI: 10.1007/978-3-030-79393-7_16.

V.H. Schulz and K. Welker, On Optimization Transfer Operators in Shape Spaces. In: V.H. Schulz and D. Seck (eds.) Shape Optimization, Homogenization and Optimal Control, International Series of Numerical Mathematics 169. Birkhäuser, Cham: 259-275 (2018). DOI: 10.1007/978-3-319-90469-6_13.

A. Panotopoulou, E. Ross, K. Welker, E. Hubert, and G. Morin, Scaffolding a Skeleton. In: A. Gençtav et al. (eds.) Research in Shape Analysis, Association for Woman in Mathematics 12. Springer International Publishing, Cham: 17-35 (2018). DOI: 10.1007/978-3-319-77066-6_2.

V.H. Schulz, M. Siebenborn, and K. Welker, Towards a Lagrange-Newton Approach for PDE Constrained Shape Optimization. In: A. Pratelli and G. Leugering (eds.) Trends in PDE Constrained Shape Optimization, International Series of Numerical Mathematics 166. Birkhäuser, Cham: 229-249 (2015). DOI: 10.1007/978-3-319-17563-8_10.

Proceedings

L. Pryymak, T. Suchan, and K. Welker, A Product Shape Manifold Approach for Optimizing Piecewise-Smooth Shapes, In: F. Nielsen and F. Barbaresco (eds.) Geometric Science of Information. GSI 2023. Lecture Notes in Computer Science 14071. Springer International Publishing, Cham: 21-30 (2023). DOI: 10.1007/978-3-031-38271-0_3.

T. Suchan, K. Welker, and W. Wollner, A new shape optimization approach for fracture propagation. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 22: e202200124 (2023). DOI: 10.1002/pamm.202200124.

T. Suchan, R. Najafi Koopas, N. Rauter, and K. Welker, Tracking of fracture‐state displacement data generated by cohesive zone modeling using shape optimization. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 22: e202200284 (2023). DOI: 10.1002/pamm.202200284.

T. Suchan and K. Welker, Viscous energy dissipation reduction by optimization of multiple shapes. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 21: e202100261 (2021). DOI: 10.1002/pamm.202100261.

N. Goldammer and K. Welker, Optimization on diffeological spaces. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 21: e202100260 (2021). DOI: 10.1002/pamm.202100260.

N. Goldammer and K. Welker, Towards optimization techniques on diffeological spaces. In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 20: e202000040 (2021). DOI: 10.1002/pamm.202000040.

R. Bergmann, R. Herzog, E. Loayza-Romero, and K. Welker, Shape optimization: what to do first, optimize or discretize? In: Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics 19: e201900067 (2019). DOI: 10.1002/pamm.201900067.

D. Luft and K. Welker, Computational Investigations of an Obstacle-Type Shape Optimization Problem in the Space of Smooth Shapes. In: F. Nielsen and F. Barbaresco (eds.) Geometric Science of Information. GSI 2019. Lecture Notes in Computer Science 11712. Springer International Publishing, Cham: 579-588 (2019). DOI: 10.1007/978-3-030-26980-7_60.

K. Welker, Optimization in the Space of Smooth Shapes. In: F. Nielsen and F. Barbaresco (eds.) Geometric Science of Information. GSI 2017. Lecture Notes in Computer Science 10589. Springer International Publishing, Cham: 65-72 (2017). DOI: 10.1007/978-3-319-68445-1_8.

V.H. Schulz, M. Siebenborn, and K. Welker, PDE Constrained Shape Optimization as Optimization on Shape Manifolds. In: F. Nielsen and F. Barbaresco (eds.) Geometric Science of Information. GSI 2015. Lecture Notes in Computer Science 9389. Springer Nature Switzerland, Cham: 499-508 (2015). DOI: 10.1007/978-3-319-25040-3_54.

Preprints / eingereichte Artikel

T. Suchan, V. Schulz, and K. Welker, Shape optimization in the space of piecewise-smooth shapes for the Bingham flow variational inequality, arXiv, 2024. DOI: 10.48550/arXiv.2403.02106.

C. Geiersbach, T. Suchan, and K. Welker, Optimization of piecewise smooth shapes under uncertainty using the example of Navier-Stokes flow, arXiv, 2023. DOI: 10.48550/arXiv.2308.07742.

N. Goldammer, V.H. Schulz, and K. Welker, Gâteaux semiderivative approach applied to shape optimization for contact problems, arXiv, 2022. DOI: 10.48550/arXiv.2208.03687.

N. Goldammer and K. Welker, Towards optimization techniques on diffeological spaces by generalizing Riemannian concepts, arXiv, 2020. DOI: 10.48550/arXiv.2009.04262.

C. Geiersbach, E. Loayza, and K. Welker, Computational Aspects for Interface Identification Problems with Stochastic Modelling, arXiv, 2019. DOI: 10.48550/arXiv.1902.01160.

Thesis

K. Welker. Efficient PDE Constrained Shape Optimization in Shape Spaces. PhD Thesis, Universität Trier, 2016. DOI: 10.25353/ubtr-xxxx-6575-788c/.

K. Welker. Riemannsche Metriken auf dem Raum der Formen. Diploma Thesis, Universität Trier, 2013.