Forschung

• Formoptimierungsprobleme und deren numerische Behandlung / Optimierungsmethoden in Formenräumen
• Analytische und numerische Lösungen von beschränkten Optimierungsproblemen (insbesondere Beschränkungen in Form von partiellen Differentialgleichungen und variationellen Ungleichungen)
• Stochastische Approximation / Optimierung unter Unsicherheiten
• Modellierung von Optimierungsproblemen

• Riemannsche Mannigfaltigkeiten
• Formenräume als diffeologische Räume

• Optimale Versuchsplanung (z.B. optimale Sensorplatzierung)
• Rissmodellierung durch Optimierungsprobleme

Das übergeordnete Ziel des Projektes SHM ist es, neue innovative Methoden zu entwickeln, um Infrastrukturbauwerke zu überwachen und deren Zustand kontinuierlich und zuverlässigkeitsbasiert zu bewerten. Hierzu arbeitet ein interdisziplinäres Team bestehend aus Ingenieuren/innen und Mathematikern/innen in Kooperation mit Industrieunternehmen zusammen. Die neuen Methoden sollen unter Nutzung von Daten verschiedenster Sensoren die zuverlässigkeitsbasierte digitale Zustandsbewertung von bestehenden Infrastrukturbauwerken erlauben. Die entwickelten SHM-Methoden haben den Anspruch, auf Bauwerke und Schäden verschiedenster Art anwendbar zu sein. Endprodukt des Projekts ist ein über den bisherigen Wissens- und Forschungsstand hinausgehendes, durchgehend digitales und integriertes System zur Überwachung von Infrastrukturbauwerken, dieses mit dem Building Information Modeling in einer lückenlosen digitalen Prozesskette zusammenzuführen und auf Basis aller zur Verfügung stehenden Daten eine kontinuierliche Zustandsbewertung zu realisieren.

Das Projekt SNewS verfolgt einen neuen Ansatz, der es ermöglicht, Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen in Formenräumen analytisch zu untersuchen und numerisch zu lösen. Im Unterschied zu klassischen Problemen mit variationellen Beschränkungen, bei denen keine explizite Abhängigkeit von Gebieten vorhanden ist, ist die Untersuchung von Formoptimierungsproblemen mit variationellen Beschränkungen insbesondere aus zwei Gründen besonders anspruchsvoll: Erstens muss man notwendigerweise in nichtlinearen, nichtkonvexen und unendlichdimensionalen Formenräumen arbeiten. Zweitens ist ein beliebiges Zielfunktional, das von der Lösung einer Variationsungleichung abhängt, nicht notwendigerweise formdifferenzierbar. Dies führt dazu, dass zum Beispiel die Adjungierte zum vorliegenden Formoptimierungsproblem nicht definiert und somit das Problem nicht direkt ohne Regularisierungstechniken gelöst werden kann. Das Aufsetzen eines Newton-Formableitungskonzepts ist der Leitgedanke des Antrags. Mithilfe dieses Konzepts können Formoptimierungsprobleme mit variationellen Beschränkungen, die im klassischen Sinn nicht formdifferenzierbar sind, analytisch und numerisch untersucht werden. Zudem können diese dann auch gelöst werden, ohne Regularisierungstechniken zu verwenden, die nicht selten nur zu approximativen Lösungen führen.

Ziel des Verbundprojektes ist die Entwicklung innovativer Simulationsverfahren zur robusten Optimierung komplexer Bauteile. Durch die Verschmelzung von Methoden der Angewandten Mathematik und des Theoretischen Maschinenbaus werden hierzu Modelle entwickelt, die dynamische Betriebsbedingungen und unsichere Fertigungsprozesse bei der Optimierung erfassen. Insbesondere für wartungsintensive und wartungsfreie Produkte aus dem Hamburger Luftfahrt- und Medizintechnikumfeld ist ein robustes Design entscheidend. Aufgrund von drastisch reduzierten Zeit- und Finanzbudgets für die Entwicklung neuer Produkte wird die computergestützte Optimierung virtueller Produktprototypen immer bedeutender. Je unabhängiger (robuster) die Leistungsmerkmale eines optimierten Produktdesigns von späteren fertigungs- oder betriebsbedingten Schwankungen sind, desto wirtschaftlicher lässt sich das Produkt herstellen und betreiben.

C. Geiersbach, T. Suchan, and K. Welker, Stochastic Augmented Lagrangian Method in Riemannian Shape Manifolds. Journal of Optimization Theory and Applications (2024). DOI: 10.1007/s10957-024-02488-1.

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K. Welker. Riemannsche Metriken auf dem Raum der Formen. Diploma Thesis, Universität Trier, 2013.